Risk-neutral distributions implied from stochastic volatility jump-diffusion models

Abstract

Esta dissertação investiga a extração e análise de densidades neutras ao risco (RNDs) a partir de opções mensais sobre o S&P 500, no âmbito de uma estrutura de valorização baseada em transformadas de Fourier. O estudo centra-se em três modelos afins com difusão e saltos, nomeadamente os modelos de Merton (1976), Kou (2002) e Bakshi, Cao and Chen (1997), com o objetivo de avaliar a sua capacidade de reproduzir as distribuições implícitas nas opções e captar a dinâmica das expectativas de mercado. Para cada modelo, é derivada a função característica sob a medida T-forward, que é posteriormente integrada numericamente na fórmula de valorização unificada de Lee (2004). As densidades neutras ao risco extraídas são analisadas para avaliar a capacidade de cada modelo representar as expectativas de mercado, relativamente à evolução futura dos preços e ao risco de cauda. Investiga-se também se a suavização da superfície de volatilidade implícita antes da calibração, utilizando as interpolações cúbica e de Hermite, melhora o desempenho do modelo de Bakshi e a estabilidade dos parâmetros estimados.A análise empírica é realizada com opções mensais sobre o S&P 500 no período de janeiro a maio de 2022. O desempenho dos modelos é avaliado através de um conjunto abrangente de métricas de erro de valorização e de uma análise detalhada da forma e distribuição das RNDs, incluindo momentos, caudas, quantis e medidas de divergência.Os resultados indicam uma hierarquia clara, com o modelo de Bakshi a apresentar o melhor ajustamento global e erros de valorização 7 a 13 vezes menores do que os de Kou e Merton. Ao mesmo tempo, as densidades extraídas pelo modelo de Bakshi exibem assimetrias próximas de zero e baixa curtose, apontando para calibrações dominadas pela difusão que subestimam o risco de cauda em períodos de tensão de mercado. Este comportamento está associado ao processo de calibração baseado na minimização dos erros de valorização, que atribui maior peso a opções com preços mais elevados, e ao filtro de dados, que tende a excluir opções muito out-of-the-money.A suavização da volatilidade reduz o RMSE em cerca de 5% e a variabilidade dos parâmetros em aproximadamente 80%, sendo a interpolação de Hermite a que proporciona o melhor equilíbrio entre precisão e robustez.

This dissertation investigates the extraction and analysis of risk-neutral densities from S&P 500 monthly options within a Fourier-based valuation framework. The study focuses on three affine jump-diffusion models, namely Merton (1976), Kou (2002), and Bakshi and Chen (1997) models, to assess their ability to capture the dynamics of option-implied distributions. For each model, we derive the characteristic function under the forward T-measure and integrate it into Lee (2004) unified pricing formula. The extracted riskneutral densities are analysed to assess each model’s ability to represent market expectations regarding future price movements and tail risk. We also investigate whether smoothing the implied volatility surface prior to calibration, using cubic and Hermite spline interpolations, improves model performance and parameter stability for the Bakshi model. An extensive empirical analysis is conducted using S&P 500 monthly options from January to May 2022. Model performance is evaluated using a comprehensive set of pricing error metrics and a detailed examination of the RNDs shape and distribution, including their moments, tails, quantiles and divergence measures. Results indicate a clear hierarchy, with Bakshi delivering the best overall fit and achieving pricing errors 7 to 13 times lower than those of Kou and Merton. At the same time, Bakshi’s extracted densities display near-zero skewness and low kurtosis, which points to diffusion-dominated calibrations that understate downside risk in stressed markets. This pattern appears linked to calibrating by minimising pricing errors, which implicitly places more weight on higher-priced options, and to option filtering that disproportionately removes deep out-of-the-money puts. Volatility smoothing reduces RMSE by about 5% and cuts parameter variability by roughly 80%, with Hermite providing the best balance between accuracy and robustness.