Effects of the Fractional Black-Scholes Model on LEAPS options contracts

Abstract

In recent decades, the valuation of derivative products is a topic that has increasingly caught the interest of investors, whether due to the potential leveraged profits obtained from the incorrect valuation of these contracts or, in some cases, due to risk hedging activities. Options contracts are no exception, with the liberalized access to Long-Term Equity Anticipation Securities trading through platforms focused on individual investors, the correct assessment of the price attributable to these products has never been more important. However, there are still very few studies conducted on the valuation of such contracts, making this task challenging. Consequently, various valuation models have been developed for these instruments, namely the well-known Black-Scholes Model (1973) and Merton (1973). However, the majority exhibit weaknesses in the inherent assumptions, presuming no long-term memory of the volatility parameter, which is the focus of this dissertation, and accommodating the normality of logarithmic returns, which is unverifiable in real markets (Taleb, 2007). In 1999, Hu and Øksendal suggested addressing this issue by introducing the Fractional Black-Scholes Model, which proposes the use of Fractional Brownian Motion, a new class of Brownian motion that exhibits correlation between past and recent volatilities. This study proposes applying the Fractional Black-Scholes Model to assess the effects of volatility for the valuation of long-term European options (Long-Term Equity Anticipation Securities). For this purpose, using a sample of the S&P500-based contracts with maturities exceeding one year and different strikes, this dissertation examines the impact of the fractional volatility versus that of the Black-Scholes model.

Cada vez mais a valorização de produtos derivados é um tópico que tem atraído atenção dos investidores especialmente nas últimas décadas, quer seja pelos potencias lucros alavancados obtidos pela incorreta valorização destes contratos ou, devido a atividades de cobertura de risco. Os contratos de opções não são exceção, com o acesso liberalizado à negociação de Long-Term Equity Anticipation Securities através de plataformas focadas no pequeno investidor, a correta precificação destes produtos nunca foi tão importante. No entanto, existem poucos estudos efetuados na valorização destes contratos, tornando esta tarefa difícil. Desta forma, foram desenvolvidos diversos modelos de valorização destes instrumentos, nomeadamente o Black-Scholes Model (1973) e Merton (1973), contudo a maioria destes apresentam fragilidades nas premissas que estabelecem, assumindo a ausência de memória de longo prazo do parâmetro da volatilidade, sobre a qual incide o foco desta dissertação, e a normalidade dos retornos logarítmicos, a qual é inverificável nos mercados (Taleb, 2007). Por sua vez, em 1999 Hu e Øksendal, visando este problema sugeriram introduzir o Fractional Black-Scholes Model, que propõe o uso do Fractional Brownian Motion o qual postula uma nova classe de movimento Browniano que exibe correlação entre as volatilidades passadas e recentes. Este estudo propõe aplicar o Fractional Black-Scholes Model na valorização de opções europeias de longo-prazo (Long-Term Equity Anticipation Securities). Para isso, recolheu-se uma amostra de opções do S&P 500 com maturidades acima de um ano e diferentes strikes, e comparou-se o impacto da volatilidade fractal na avaliação destes contratos com os valores obtidos através do modelo Black-Scholes.