Perpetual caps and floors on continuous flows: Applications in interest rates

Abstract

Os Caps e os Floors são instrumentos financeiros extremamente úteis para proteger os seus detentores contra a volatilidade das taxas de juro. Quando estendemos estes instrumentos para maturidades perpétuas, obtemos instrumentos financeiros de proteção contínua contra as flutuações das taxas de juro. O modelo de Cox-Ingersoll-Ross (CIR) ´e um modelo matemático utilizado para descrever a evolução das taxas de juros ao longo do tempo. A sua equação diferencial estocástica é composta por um termo de reversão para a média, o drift, que representa a tendência da taxa de juro de retornar ao n´nível médio (θ) com uma velocidade de ajuste (k) e um termo de volatilidade (σ). Podemos abordar este modelo de duas formas distintas: pelas obrigações de cupão zero ou pelas taxas de juro. Abordando o modelo CIR pelas taxas de juro, iremos determinar analiticamente a expressão que permite calcular o preço de Caps e Floors perpétuos. O problema de encontrar o preço destes instrumentos financeiros pode ser formulado por uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, uma vez que no caso perpétuo o tempo ´e homogéneo. Por fim, usaremos a integração numérica, através do método da quadratura adaptativa global, para comprovar que a equação a que chegamos fornece resultados consistentes e precisos para a avaliação de Caps e Floors perpétuos no modelo CIR sem drift. Esta abordagem permitirá validar a aplicabilidade prática da fórmula desenvolvida.

Caps and Floors are extremely useful financial instruments for protecting their holders against interest rate volatility. When we extend these instruments to perpetual maturities, we obtain financial instruments that provide continuous protection against interest rate fluctuations. The Cox-Ingersoll-Ross (CIR) model is a mathematical model used to describe the evolution of interest rates over time. Its stochastic differential equation consists of a meanreversion term, the drift, which represents the tendency of the interest rate to return to the mean level (θ) with an adjustment speed (k) and a volatility term (σ). We can approach this model in two distinct ways: through zero-coupon bonds or through interest rates. Approaching the CIR model through interest rates, we will analytically determine the expression that allows us to calculate the price of perpetual Caps and Floors. The problem of finding the price of these financial instruments can be formulated by a second-order ordinary differential equation, since in the perpetual case, time is homogeneous. Finally, we will use numerical integration, through the method of global adaptive quadrature, to verify that the equation we arrive at provides consistent and accurate results for the evaluation of perpetual Caps and Floors in the CIR model without drift. This approach will allow us to validate the practical application of the formula developed.