Extensões via splines da análise em componentes principais

Abstract

Uma nova abordagem para generalizar a Análise em Componentes Principais (ACP) para estruturas não-lineares é proposta nesta tese: quasi-linear PCA (qlPCA). Esta inclui transformações spline das variáveis originais optimizadas através de um processo de Mínimos Quadrados Alternados sobre uma determinada função perda. As transformações óptimas são explicitamente conhecidas após a convergência, sendo o sumário do modelo semelhante ao da ACP. Apesar do algoritmo proposto ser dedicado a ambientes de variáveis contínuas com eventual presença de relações não-lineares, a sua inspiração foram os algoritmos que emergiram do sistema Gifi, tendo estes sido especialmente concebidos para variáveis categoriais. Deste ponto de vista, pode afirmar-se que esta tese propõe uma solução para o seguinte problema: Tendo as variantes da ACP associadas ao sistema Gifi sido desenvolvidas para variáveis categoriais, como adaptá-las de modo a serem consideradas como uma abordagem não-linear em contexto de variáveis contínuas? As variantes associadas ao sistema Gifi não são usualmente abordagens a considerar pelos investigadores de áreas do conhecimento que lidem com variáveis contínuas. Nesse sentido, considera-se que a qlPCA representa um contributo relevante, alargando o leque de aplicações do referencial teórico desenvolvido por Gifi.

A new approach to generalize Principal Components Analysis (PCA) in order to handle nonlinear structures is proposed in this thesis: quasi-linear PCA (qlPCA). It includes spline transformations of the original variables, using Alternating Least Squares fitting of a suitable objective loss function to achieve optimal transformations. Optimal transformations are explicitly known after convergence and qlPCA reports model summary in a linear PCA fashion. Even though the proposed algorithm is designed for continuous variables eventually with nonlinear relationships, it was inspired by algorithms that emerged from the Gifi system, whose focus were categorical variables. Thus, this thesis proposes a solution for the following problem: Having Gifi’s related approaches been developed for categorical variables, how to adapt them in order to be considered a nonlinear option also in the context of continuous variables? Gifi’s related approaches are not usually a valid option for researchers dealing with continuous variables. The proposed approach, qlPCA, can enlarge the scope of applications of Gifi’s theoretical framework, being therefore a relevant contribution.