The fundamental transform approach of Lewis for pricing options

Abstract

For all its ingenuity, the classic model of Black and Scholes (1973) and Merton (1973) (the “Black-Scholes-Merton” - BSM model) has severe drawbacks when it comes to explaining the underlying asset return behavior. Stochastic Volatility models attempt to correct one of the core assumptions of the BSM model - that of the constant volatility of logarithmic returns - by modeling volatility as a stochastic process. Often, for these models, formulas for the prices of European vanilla options are derived using Fourier Inversion. Lewis (2000) and Lewis (2001) generalize this approach, working with the “Fundamental Transform”, which can be seen as the characteristic function of the volatility driver. We present, derive and interpret this methodology, establishing parallels between the two sources and other similar theories whenever applicable. Using Residue Calculus, we derive alternative formulas for the price of a Call option and relate their equality (or lack thereof) to the nature of the Fundamental Transform, namely, the properties of norm and Martingale-preservation, from Lewis (2000). We apply this procedure to the Heston model, deriving as a special case the original formula of the Call obtained in Heston (1993). This methodology has additional theoretical benefits. For one, we relate the concepts of norm and Martingale-preservation, as well as the multiplicity of Call formulas, to the existence of “bubbles” as described in Heston et al. (2007). Additionally, we reach a novel result in which we prove the delta of a Call represents a dividend discounted probability under the risk-neutral measure, with the risky asset as numéraire, QS. One of the drawbacks of using Stochastic Volatility models is the need to perform slow explicit numerical integration to obtain instrument prices. An alternative approach, developed by Lewis (2000), uses a power-series expansion on the Volatility of Volatility parameter to derive an approximation of Call prices for general Stochastic Volatility models, which we present, clarifying some details left implicit by the author. These methodologies are implemented in Python. The computational efficiency of the alternative integral formulas is then evaluated, calling into question the supposed performance gains mentioned in Lewis (2000) and Lewis (2001). Additionally, we also analyze the sacrifice in precision one must make when using the Volatility of Volatility Expansion vis-à-vis the gain in computational efficiency. Finally, we conclude by testing all of the formulas derived by calibrating the Heston model.

Apesar da sua engenhosidade, o modelo clássico de Black and Scholes (1973) e Merton (1973) (o modelo “Black-Scholes-Merton” - BSM) tem falhas drásticas ao explicar o comportamento dos retornos do ativo subjacente. Modelos de Volatilidade Estocástica tentam corrigir uma das premissas fundamentais do modelo BSM - a volatilidade constante dos retornos logarítmicos - ao modelar a volatilidade como um processo estocástico. Para estes modelos, as fórmulas para os preços de opções Europeias standard são usualmente obtidas por Inversão de Fourier. Esta abordagem é generalizada em Lewis (2000) e Lewis (2001) com o conceito da “Fundamental Transform”, que pode ser vista como a função caraterística do condutor da volatilidade. Apresentamos, deduzimos e interpretamos este método, estabelecendo paralelos entre as duas fontes e teorias semelhantes. Com Cálculo de Resíduos, deduzimos fórmulas alternativas para o preço de uma Call e relacionamos a sua igualdade (ou falta dela) à natureza da Fundamental Transform, nomeadamente a preservação de norma e Martingalas. Aplicamos este procedimento ao modelo de Heston, chegando à fórmula original da Call em Heston (1993). Esta metodologia tem também benefícios do ponto de vista teórico. Relacionamos os conceitos de preservação de norma e Martingalas, assim como a multiplicidade das fórmulas para a Call, com a existência de “bolhas” conforme descritas em Heston et al. (2007). Adicionalmente, obtemos um resultado digno de nota onde provamos que o delta de uma Call representa uma probabilidade descontada de dividendos sob a medida de risco neutro, com o ativo subjacente como numerário, QS. Uma das desvantagens de usar modelos de Volatilidade Estocástica é a necessidade de calcular integrais numericamente para obter os preços de instrumentos. Uma abordagem alternativa, desenvolvida por Lewis (2000), usa uma expansão em série de potências sob o parâmetro da Volatilidade da Volatilidade para deduzir uma aproximação aos preços de Calls, para a generalidade dos modelos de Volatilidade Estocástica, que apresentamos, tentando clarificar alguns detalhes deixados implícitos pelo autor. Estas metodologias são implementadas em Python. A eficiência computacional das fórmulas de integral alternativas é avaliada, levando-nos a questionar os ganhos de desempenho mencionados em Lewis (2000) e Lewis (2001). Adicionalmente, analisamos o sacrifício em precisão face ao ganho de eficiência computacional que tem de se fazer quando se usa o método da Expansão em Volatilidade da Volatilidade. Finalmente, concluímos ao testar todas as fórmulas obtidas calibrando o modelo de Heston.