O efeito SMILE: uma aplicação ao DAX

Abstract

O modelo clássico de avaliação de opções de Black-Scholes (1973) assume que o preço de um activo evolui continuamente, segundo um movimento geométrico Browniano com volatilidade constante e que não existem custos de transacção. Verificando-se estes pressupostos todas as opções emitidas sobre um determinado activo deveriam apresentar a mesma volatilidade implícita. No entanto, vários estudos mostram que as volatilidades implícitas tendem a variar consoante o moneyness das opções e o tempo de expiração das mesmas. Na realidade, se apresentarmos graficamente as volatilidades implícitas nos preços de mercado das opções em função de um rácio de moneyness, verificamos que as opções at-the-money tendem a apresentar valores de volatilidade inferiores aos das opções out-of-the-money. Este fenómeno é conhecido por efeito smile e geralmente descrito como apresentando a forma gráfica de um U, que pode ser mais ou menos pronunciado. A presente tese surge assim do interesse teórico e prático de aprofundar o estudo do “efeito smile " num determinado contexto de mercado: um conjunto alargado de opções de compra e venda sobre o índice DAX. Estamos convictos que o nosso trabalho, descrevendo o efeito smile de modo mais exaustivo bem como a sua associação com outras variáveis com impacto sobre o preço da opção, poderá contribuir para o aprofundamento e refinação dos modelos de avaliação de opções e despertar o interesse por esta importante área de investigação em finanças. Neste contexto, o nosso trabalho tem por objectivo analisar e comparar os padrões de smile obtidos na aplicação dos modelos de Black-Scholes-Merton (1973) e de Elasticidade Constante da Variância (CEV) à avaliação de um conjunto de opções sobre o DAX. Procederemos ainda à comparação das curvas de volatilidade obtidas com as respectivas superfícies de volatilidade implícitas.

Considering the assumptions made in the seminal Black-Scholes model for option valuation, one would expect the implied volatility for all the options on a given asset to be constant. However, many later studies have shown that the implied volatilities tend to vary according to the moneyness and the time of expiration of the options, notably out-of-money options tend to have more implied volatility than those at-the-money. When plotted this phenomenon produces a characteristic U shape, hence, it became known as the smile effect. In this thesis we analyse and compare the smile patterns obtained by application of the Black-Scholes-Merton and the Constant Elasticity Variance (CEV) models to a set of DAX options. Furthermore we compare the obtained volatility curves with the implied volatility surfaces. By careful study and description of the smile effect on a broad spectrum of DAX options we intend to better understand the effect and to find new associations with other variables that have an impact on option price. Doing so, we contribute to the refinement of the models used in option valuation and raise awareness on this important subject.