Algorithms for improving the efficiency of CEV, CIR and JDCEV option pricing models

Abstract

The non-central chi-square distribution function has extensive use in the field of Mathematical Finance. To a great extent, this is due to its involvement in the constant elasticity of variance (hereafter, CEV) option pricing model of Cox (1975), in the term structure of interest rates model of Cox et al. (1985a) (hereafter, CIR), and the jump to default extended CEV (hereafter, JDCEV) framework of Carr and Linetsky (2006). Efficient computation methods are required to rapidly price complex contracts and calibrate financial models. The processes with several parameters, like the CEV or JDCEV models that we will address are examples of where this is important, since in this case the pricing problem (for many strikes) is used inside an optimization method. With this work we intend to test recent developments concerning the efficient computation of the non-central chi-square distribution function in the context of these option pricing models. We will give particular emphasis to the recent developments presented in the work of Gil et al. (2012), Gil et al. (2013), Dias and Nunes (2014), and Gil et al. (2015). For each option pricing model, we will define reference data-sets compatible with the most common combination of values used in pricing practice, following a framework that is similar to the one presented in Larguinho et al. (2013). We will conclude by offering novel analytical solutions for the JDCEV delta hedge ratios for the recovery parts of the put.

A distribuição de probabilidade chi-quadrado não-central tem sido alvo de vasta utilização no domínio da Matemática Financeira, em grande parte devido à sua utilização no modelo "constant elasticity of variance" (doravante, CEV) de Cox (1975), no "term structure of interest rates model" de Cox et al. (1985a) e no modelo "jump to default extended CEV" (doravante, JDCEV) de Carr and Linetsky (2006). Métodos de cálculo eficientes e rápidos são de especial relevância na calibração de modelos para a determinação do preço de contratos financeiros complexos. Os modelos CEV, CIR e JDCEV são exemplos de modelos com diversos parâmetros que, quando usados em contexto de determinação do preço de opções com vários preços de exercício, mostram como esta optimização é fundamental. Com este trabalho pretendemos testar os mais recentes desenvolvimentos no cálculo eficiente da distribuição de probabilidade não-central chi-quadrado, no contexto dos modelos de cálculo de preço de opções mencionados anteriormente. Daremos ênfase aos recentes desenvolvimentos apresentados nos trabalhos de Gil et al. (2012), Gil et al. (2013), Dias and Nunes (2014) e de Gil et al. (2015). Para cada um dos modelos, definiremos um conjunto de parâmetros de referência compatível com as combinações mais usadas na prática, seguindo uma metodologia similar à usada em Larguinho et al. (2013). Concluímos com a derivação de novas soluções analíticas para os rácios de "delta hedging" no modelo JDCEV.