Numerical and theoretical analysis of lognormal and location-scale t mixture models for risk-neutral density recovery

Abstract

Esta tese investiga a estimação de densidades de risco neutro (RNDs) implícitas nos preços de opções de mercado, com foco no índice S&P 500. O estudo implementa e avalia metodologias de "finite mixture modelling" para estimar a RND, com componentes teóricos, metodológicos e empíricos. Teoricamente, as "finite mixtures" podem ser vistas como "single hidden layer feedforward neural networks", sustentando a convergência através de "universal approximation theorems". Introduz-se uma noção de admissibilidade, definida em relação ao comportamento assintótico dos preços das opções, fornecendo uma estrutura teórica para discutir a validade das densidades inferidas. Empiricamente, duas especificações de mistura - as distribuições lognormais e "location-scale t" - são implementadas recorrendo a rotinas de otimização em MATLAB. O modelo de mistura lognormal demonstra uma clara convergência "in-sample", com métricas de estimação e precisão de preços a melhorar à medida que aumenta o número de componentes da mistura. Em contrapartida, a mistura do tipo "location-scale t" enfrenta desafios computacionais significativos, devido ao seu espaço paramétrico de elevada dimensão e instabilidade numérica na avaliação de funções especiais. Em suma, os resultados destacam a eficácia das misturas lognormais para a estimação flexível e precisa de RNDs, ao mesmo tempo que sublinham as dificuldades práticas associadas a especificações mais complexas. A tese contribui ao oferecer tanto um enquadramento metodológico para a estimação de RNDs baseada em misturas como uma perspetiva teórica sobre admissibilidade em precificação assintótica de opções, sugerindo direções para futuras pesquisas em eficiência computacional e validação de modelos.

This thesis investigates the estimation of risk-neutral densities (RNDs) implied by option market prices, focusing on the S&P 500 index. The study implements and evaluates finite mixture model methodologies for estimating the risk-neutral density, with theoretical, methodological, and empirical components. Theoretically, finite mixtures are connected to single hidden layer neural networks, supporting convergence through universal approximation arguments. A notion of admissibility is introduced, defined in relation to the asymptotic behavior of option prices, providing a theoretical framework for discussing the validity of inferred densities. Empirically, two mixture specifications - the lognormal and the location-scale t distributions - are implemented using MATLAB optimization routines. The lognormal mixture model demonstrates clear in-sample convergence, with estimation metrics and pricing accuracy improving as the number of components increases. In contrast, the location-scale t mixture faces significant computational challenges, arising from its high-dimensional parameter space and numerical instability in evaluating special functions. Overall, the results highlight the effectiveness of lognormal mixtures for flexible and accurate RND estimation, while underscoring the practical difficulties associated with more complex specifications. The thesis contributes by offering both a methodological framework for mixture-based RND estimation and a theoretical perspective on admissibility in asymptotic option pricing, suggesting directions for future research in computational efficiency and model validation.