Contributos para os fundamentos categoriais da matemática do risco

Abstract

A matemática do risco, enquanto o ramo da matemática que apoia a ciência do risco na investigação do seu objecto, o risco, enquanto tal, não possui um corpo conceptual formal unificado. A presente tese contribui para um tal corpo, investigando a matemática do risco a partir dos seus fundamentos, assumindo o risco, enquanto tal, como o objecto de investigação. É reconhecido que a teoria das categorias permite introduzir um substrato matemático comum, tanto para a matemática da medição do risco como para a modelação de sistemas em situações de risco. Assim, os fundamentos da matemática do risco são trabalhados a partir do formalismo da lógica da teoria das categorias, no seio da linguagem formal LCat, subjacente ao cálculo categorial, permitindo desenvolver a conexão entre o objecto da ciência do risco, o formalismo e a ciência dos sistemas, a qual constitui um substrato conceptual científico para a ciência do risco. Investigando a conexão entre a teoria das categorias, a topologia categorial, e as noções de acaso, aleatório, estocástico, caos e aleatoriedade algorítmica, o formalismo da teoria das categorias é directamente ligado à matemática do risco e, assim, demonstra-se que o mesmo fornece um enquadramento unificado, no qual, o risco, enquanto tal, assim como a modelação dos sistemas em situações de risco podem ser apreendidos e trabalhados, a partir de uma perspectiva matemática. Apresenta-se, também, uma aplicação do formalismo à captura de turbulência multifractal, risco de sincronização e efeitos de Malcolm, com implicações para as finanças e para a gestão do risco.

Risk mathematics, as the branch of mathematics that supports risk science in the research of its object, the risk, as such, lacks a unified formal conceptual body. The present thesis makes a contribution towards such a body, by researching risk mathematics from its foundations, assuming the risk, as such, as the object of research. It is recognized that category theory allows the introduction of a common mathematical substratum, both for the risk measurement mathematics as well as for the modelling of systems in situations of risk. Thus, the foundations of risk mathematics are worked upon from the formalism of category theory’s logic, within the formal language LCat, underlying categorial calculus, which allows the development of the connection between the object of risk science, the formalism itself and systems science, which constitutes a scientific conceptual substratum for risk science. By researching the connection between category theory, categorial topology, and the notions of acaso1, aleatorial, stochastic, chaos and algorithmic randomness, category theory’s formalism is directly linked to risk mathematics and, thus, it is shown to provide for a unified framework upon which risk, as such, as well as the modelling of systems in situations of risk can be apprehended and worked upon, from a mathematical perspective. It is also shown an application of the formalism to the capturing of multifractal turbulence, synchronization risk and Malcolm effects, with implications for finance and risk management.